Иерей Авксентий Миминошвили родился 28 сентября 1968 года в городе Киеве, в Киеве же получил высшее духовное образование — окончил в 1997 году Киевскую Духовную Академию.

Был рукоположен во диакона 7 июля 1999 года архиепископом Истринским Арсением и 6 мая 2000 года во иерея Святейшим Патриархом Московским и всея Руси Алексием II. Усердно проходил служение в храме блгвв. кнн. Бориса и Глеба в Зюзине г. Москвы с 1998 года, а с 2006 года – в храме св. мч. Иоанна Воина на Якиманке г. Москвы. За время служения приобрёл любовь многих чад, которые и по сей день сохраняют духовную связь со своим пастырем.

По благословению Его Святейшества, Святейшего Патриарха Московского и всея Руси Кирилла 29 сентября 2010 года распоряжением     № Р-01/50 иерей Авксентий Миминошвили был направлен для временного служения в восстанавливающийся Иоанно-Предтеченский женский монастырь города Москвы.

Иерей Авксентий сразу был отмечен насельницами и прихожанами обители, как внимательный и чуткий священник, всегда готовый прийти на помощь молитвой и мудрым советом. Отец Авксентий благоговейно совершает богослужения в обители. Он всегда окружён прихожанами, с которыми подолгу и внимательно беседует. Совершая таинство Исповеди, батюшка не только отечески вразумляет, но и вдохновляет на христианский путь, придавая духовной силы и ревности к исправлению жизни. Особым даром отмечены проповеди в храме и наставления в личных беседах иерея Авксентия. Очень ярко и просто как проповедник отец Авксентий умеет раскрыть глубокие христианские истины, вместе с тем являя знание Священного Писания и творений Святых отцов.

12 апреля 2014 г. отец Авксентий награждён Святейшим патриархом Кириллом правом ношения Наперсного креста

24 апреля 2019 г. награжден правом ношения палицы

26 июня 2023 года указом Святейшего Патриарха Кирилла освобожден от послушания клирика Иоанно-Предтеченского монастыря и назначен штатным клириком храма Архангела Михаила в Белоусове г. Москвы.